离散系统的LQR推导
离散的LQR优化问题一般具有如下形式：
\[\min{J=\frac{1}{2}x_N^THx_N+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{N-1}{[x_k^TQ_kx_k+u_k^TR_ku_k]}}\\ \begin{aligned} \text{subject to}\quad&x_{k+1}=A_kx_k+B_ku_k,\\ &x_0\quad\text{given},\\ &H=H^T\geq0,\\ &Q=Q^T\geq0,\\ &R=R^T>0, \end{aligned} \tag{1}\]优化的目标是已知$x$的情况下，通过选择控制输入 $u_0\cdots u_{N-1}$ 使得代价$J$最小。我们将代价函数 $J$ 分开来看，定义从状态 $x_i$ 到 $x_N$ 的部分代价函数为 $J_i$ ，除此之外部分的代价函数为 $J_i^{\prime}$ ，于是有：
\[\begin{aligned} J_i&=\frac{1}{2}x_N^THx_N+\frac{1}{2}\sum_{k=i}^{N-1}{[x_k^TQ_kx_k+u_k^TR_ku_k]} \quad\text{when}\quad 0 \leq i \leq N-1\\ J_N&=\frac{1}{2}x_N^THx_N \end{aligned} \tag{2}\] \[\begin{aligned} J_i^{\prime}&=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{i-1}{[x_k^TQ_kx_k+u_k^TR_ku_k]} \quad\text{when}\quad 1 \leq i \leq N-1\\ J_0^{\prime}&=0 \end{aligned} \tag{3}\]显然有：
\[J=J_i+J_i^{\prime} \tag{4}\]我们逐步对控制输入 $u$ 进行最小化 $J$ 的操作。考虑控制输入的最后一项是 $u_N$ ，有：
\[\underset{u_{N-1}}\min{J}=\underset{u_{N-1}}\min{\{J_{N-1}+J_{N-1}^{\prime}\}} \tag{5}\]根据定义可知， $J_{N-1}^{\prime}$ 与 $u_{N-1}$ 无关，因为它表示的是 $u_{N-1}$ 作用于系统之前的代价，于是有：
\[\begin{aligned} \underset{u_{N-1}}\min{J}&=J_{N-1}^{\prime}+\underset{u_{N-1}}\min{J_{N-1}}\\ &=J_{N-1}^{\prime}+\underset{u_{N-1}}\min{\{\frac{1}{2}[x_{N-1}^TQ_{N-1}x_{N-1}+u_{N-1}^TR_{N-1}u_{N-1}]+J_{N}\}} \end{aligned} \tag{6}\]接下来在看 $u_{N-2}$：
\[\begin{aligned} \underset{u_{N-2},u_{N-1}}\min{J}&=\underset{u_{N-2}}\min{\{J_{N-1}^{\prime}+\underset{u_{N-1}}\min{J_{N-1}}\}}\\ &=J_{N-2}^{\prime}+\underset{u_{N-2}}\min{\{\frac{1}{2}[x_{N-2}^TQ_{N-2}x_{N-2}+u_{N-2}^TR_{N-2}u_{N-2}]+\underset{u_{N-1}}\min{J_{N-1}}\}} \end{aligned} \tag{7}\]根据上述规律，我们定义：
\[\begin{aligned} \hat{J}_i=\underset{u_i\cdots u_{N-1}}\min{J_i}&=\underset{u_i}\min{\{\frac{1}{2}[x_i^TQ_ix_i+u_i^TR_iu_i]+\underset{u_{i+1}\cdots u_{N-1}}\min{J_{i+1}}\}}\\ &=\underset{u_i}\min{\{\frac{1}{2}[x_i^TQ_ix_i+u_i^TR_iu_i]+\hat{J}_{i+1}\}} \end{aligned} \tag{8}\]现在我们考察 $\hat{J}_{N-1}$ 的具体形式：
\[\begin{aligned} \hat{J}_{N-1}=\underset{u_{N-1}}\min{J_{N-1}}&=\underset{u_{N-1}}\min{\{\frac{1}{2}[x_{N-1}^TQ_{N-1}x_{N-1}+u_{N-1}^TR_{N-1}u_{N-1}]+J_{N}\}}\\ &=\underset{u_{N-1}}\min{\{\frac{1}{2}[x_{N-1}^TQ_{N-1}x_{N-1}+u_{N-1}^TR_{N-1}u_{N-1}]+\frac{1}{2}x_N^THx_N\}} \end{aligned} \tag{9}\]代入 $x_N=A_{N-1}x_{N-1}+B_{N-1}u_{N-1}$ ：
\[\begin{aligned} J_{N-1}=\frac{1}{2}[x_{N-1}^TQ_{N-1}x_{N-1}+u_{N-1}^TR_{N-1}u_{N-1}]+\frac{1}{2}(A_{N-1}x_{N-1}+B_{N-1}u_{N-1})^TH(A_{N-1}x_{N-1}+B_{N-1}u_{N-1}) \end{aligned} \tag{10}\]对 $J_{N-1}$ 对 $u_{N-1}$ 求偏导数，并令其为0，有：
\[\frac{\partial J_{N-1}}{\partial u_{N-1}}=R_{N-1}u_{N-1}+B_{N-1}^THA_{N-1}x_{N-1}+B_{N-1}^THB_{N-1}u_{N-1}=0 \tag{11}\]因此可以使 $J_{N-1}$ 取最小的 $u_{N-1}$ 满足如下必要条件：
\[\begin{aligned} \hat{u}_{N-1}&=-(R_{N-1}+B_{N-1}^THB_{N-1})^{-1}B_{N-1}^THA_{N-1}x_{N-1}\\ &=-F_{N-1}x_{N-1} \end{aligned} \tag{12}\]若要使其充分，还需满足：
\[\frac{\partial^2 J_{N-1}}{\partial u_{N-1}^2}=R_{N-1}+B_{N-1}^THB_{N-1}>0 \tag{13}\]显然 $\hat u_{N-1}$ 确实能使 $J_{N-1}$ 取全局最小值。
将公式（12）式代入到公式（10），可以得到 $\hat J_{N-1}$ 是一个关于 $x_{N-1}$ 的二次型：
\[\begin{aligned} \hat{J}_{N-1}&=\frac{1}{2}x_{N-1}^T\{Q_{N-1}+F_{N-1}^TR_{N-1}F_{N-1}+(A_{N-1}-B_{N-1}F_{N-1})^TH(A_{N-1}-B_{N-1}F_{N-1})\}x_{N-1}\\ &=\frac{1}{2}x_{N-1}^TP_{N-1}x_{N-1} \end{aligned} \tag{14}\]如果我们定义初始的 $P_N=H$ ，则上述关系变为：
\[\begin{aligned} \hat{J}_N&=\frac{1}{2}x_N^TP_Nx_N\\ \hat{J}_{N-1}&=\frac{1}{2}x_{N-1}^TP_{N-1}x_{N-1}\\ P_{N-1}&=Q_{N-1}+F_{N-1}^TR_{N-1}F_{N-1}+(A_{N-1}-B_{N-1}F_{N-1})^TP_N(A_{N-1}-B_{N-1}F_{N-1}) \end{aligned} \tag{15}\]将上述关系推广到更一般的情况，则有：
\[\begin{aligned} \hat{J}_i&=\frac{1}{2}x_i^TP_ix_i\\ F_{i}&=(R_i+B_i^TP_{i+1}B_i)^{-1}B_iP_{i+1}A_i\\ P_i&=Q_i+F_i^TR_iF_i+(A_i-B_iF_i)^TP_{i+1}(A_i-B_iF_i)\\ &=Q_i+A_i^T\{P_{i+1}-P_{i+1}B_i[R_i+B_i^TP_{i+1}B_i]^{-1}B_i^TP_{i+1}\}A_i\\ \hat{u}_i&=-F_ix_i \end{aligned} \tag{16}\]上述关系即是一般线性离散系统的LQR控制率。
现在考虑离散线性时不变系统，系统参数不再随角标变化，又考虑到$P$最终趋于稳态，则有如下关系:
\[\begin{aligned} P&=Q+A^T\{P-PB[R+B^TPB]^{-1}B^TP\}A\\ F&=(R+B^TPB)^{-1}BPA\\ \hat{u}_i&=-Fx_i \end{aligned} \tag{17}\]上式中的第一项是 离散时间代数黎卡提方程 （Discrete time Algebraic Riccati Equation - DARE） ,第二项是状态反馈增益，第三项是最优控制率。
推导完毕。
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